Показательная форма комплексного числа

Показательная и тригонометрические функции в области комплексных чисел связаны между собой формулой

$\displaystyle e^{i{\varphi}}=\cos{\varphi}+i\sin{\varphi},$ (17.10)

которая носит название формулы Эйлера. Обосновать ее можно с помощью теории степенных рядов. Эта теория будет изложена в курсе математического анализа.

Пусть комплексное число $ z$ в тригонометрической форме имеет вид $ {z=r(\cos {\varphi}+i\sin{\varphi})}$ . На основании формулы Эйлера выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результате получим

$\displaystyle z=re^{i{\varphi}}.$

Эта запись называется показательной формой комплексного числа. Так же, как и в тригонометрической форме, здесь $ {r=\vert z\vert}$ , $ {{\varphi}=\arg z}$ .

        Пример 17.7   Пусть $ z=-1+i$ . Напишите показательную форму числа $ z$ .

Решение. Находим модуль и аргумент числа:

$\displaystyle r=\vert z\vert=\sqrt2,\quad {\varphi}=\arg z=\frac{3\pi}4.$

Следовательно, показательная форма комплексного числа такова:

$\displaystyle z=\sqrt2e^{\frac{3\pi}4i}.$

        

        Пример 17.8   Комплексное число записано в показательной форме

$\displaystyle z=2e^{\frac{\pi}6i}.$

Найдите его алгебраическую форму.

Решение. По формуле Эйлера

$\displaystyle z=2\left(\cos\frac{\pi}6+i\sin\frac{\pi}6\right)=2\left(\frac{\sqrt3}2+
i\frac12\right)=\sqrt3+i.$

Итак, алгебраическая форма числа: $ {z=\sqrt3+i}$ .         

С помощью формулы Эйлера можно определить показательную функцию комплексного аргумента. Пусть $ {z=x+iy}$ . Тогда

$\displaystyle e^z=e^{x+iy}=e^xe^{iy}=e^x(\cos y+i\sin y).$

Например,

$\displaystyle e^{2+\frac{5\pi}6i}=e^2\left(\cos\frac{5\pi}6+i\sin\frac{5\pi}6\right)=
-e^2\frac{\sqrt3}2+\frac{e^2}2i.$

Заменим в формуле Эйлера $ {\varphi}$ на $ -{\varphi}$ . Получим:

$\displaystyle e^{-i{\varphi}}=\cos(-{\varphi})+i\sin(-{\varphi}).$

С учетом свойств тригонометрических функций имеем:

$\displaystyle e^{-i{\varphi}}=\cos{\varphi}-i\sin{\varphi}.$

Сложив последнюю формулу с формулой Эйлера, получим:

$\displaystyle e^{i{\varphi}}+e^{-i{\varphi}}=2\cos{\varphi}.$

Откуда

$\displaystyle \cos{\varphi}=\frac{e^{i{\varphi}}+e^{-i{\varphi}}}2.$ (17.11)

Аналогично, с помощью вычитания, можно получить формулу

$\displaystyle \sin{\varphi}=\frac{e^{i{\varphi}}-e^{-i{\varphi}}}{2i}.$ (17.12)

С помощью формулы для косинуса вычислим, например, $ \cos(5i)$ :

$\displaystyle \cos(5i)=\frac{e^{i(5i)}+e^{-i(5i)}}2=\frac{e^{-5}+e^5}2
\approx 74.21.$

Таким образом, в комплексной области модуль косинуса может быть и больше 1. Более того, в комплексной области функции $ \cos z$ и $ \sin z$ , определяемые с помощью формул (17.11) и (17.12), являются неограниченными функциями. Действительно, из этих формул мы получаем:

$\displaystyle \cos{\varphi}=ch(i{\varphi}),\quad \sin{\varphi}=-i sh(i{\varphi})$ (17.13)

Так как гиперболические косинус и синус являются неограниченными функциями, то и тригонометрические функции косинус и синус являются неограниченными функциями (в комплексной области).

Отметим также, что формулы (17.13) объясняют, почему для гиперболических функций многие соотношения очень похожи на соотношения между тригонометрическими функциями, например, основное тригонометрическое тождество, формулы двойного аргумента.


Пошаговое решение индивидуальных заданий

СССР - Сайт самостоятельной студенческой работы