Умножение матриц

        Определение 14.4   Произведением матрицы $ A$ размеров $ m\times n$ на матрицу $ B$ размеров $ n\times k$ называется матрица $ C$ размеров $ m\times k$ , элементы которой вычисляются по формуле

$\displaystyle c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\ldots+a_{in}b_{nj}=\sum_{s=1}^n a_{is}
 b_{sj},$ (14.5)

где $ i=1,\dots,m$ , $ j=1,\dots,k$ .         

Во-первых, в этом определении нужно обратить внимание на то, что важен порядок сомножителей, нужно знать, какой сомножитель первый, а какой -- второй.

Во-вторых, нужно отметить, что произведение определено только в том случае, если число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго. Если это условие не выполняется, то произведение не определено.

В-третьих, размеры результата умножения определяются следующим образом: число строк результата равно числу строк первого сомножителя, а число столбцов результата равно числу столбцов второго сомножителя.

Правило вычисления элементов произведения можно сформулировать следующим образом.

Для того, чтобы вычислить элемент произведения, стоящий в $ i$ -ой строке и $ j$ -ом столбце, нужно взять $ i$ -ую строку первого сомножителя и $ j$ -ый столбец второго сомножителя, попарно перемножить их элементы, стоящие на одинаковых местах, и результаты сложить. (Точно так же мы поступаем, когда находим скалярное произведение двух векторов по их координатам, см. формулу (14.2).)

        Пример 14.3   Даны матрицы $ A=\left(\begin{array}{rrr}1&2&-1\\ 3&4&0\\ -1&2&-2\end{array}\right)$ , $ B=\left(\begin{array}{rr}
3&-2\\ 1&0\\ 4&-3\end{array}\right)$ . Найдите произведения $ AB$ и $ BA$ .

Решение. Рассмотрим произведение $ AB$ . Число столбцов в первом сомножителе $ (A)$ равно 3, число строк во втором сомножителе $ (B)$ тоже равно 3. Числа совпали, следовательно, произведение определено.

Результатом умножения будет матрица $ C$ , $ C=AB$ , у которой строк столько, сколько их в первом сомножителе, то есть 3, а столбцов столько, сколько их во втором сомножителе, то есть 2. Итак, матрица $ C$ имеет размеры $ 3\times 2$ .

Находим элемент $ c_{11}$ . В его вычислении участвует первая строка $ \left(\begin{array}{rrr}1&2&-1\end{array}\right)$ первого сомножителя $ (A)$ и первый столбец $ \left(\begin{array}{r}3\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ второго сомножителя $ (B)$ :

$\displaystyle c_{11}=1\cdot3+2\cdot1+(-1)\cdot4=1.$

Находим элемент $ c_{12}$ . В его вычислении участвует первая строка $ \left(\begin{array}{rrr}1&2&-1\end{array}\right)$ первого сомножителя $ (A)$ и второй столбец $ \left(\begin{array}{r}-2\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ второго сомножителя $ (B)$ :

$\displaystyle c_{12}=1\cdot(-2)+2\cdot0+(-1)\cdot(-3)=1.$

Все элементы первой строки матрицы $ C$ вычислены. Находим элемент $ c_{21}$ . В его вычислении участвует вторая строка $ \left(\begin{array}{rrr}3&4&0\end{array}\right)$ первого сомножителя $ (A)$ и первый столбец $ \left(\begin{array}{r}3\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ второго сомножителя $ (B)$ :

$\displaystyle c_{21}=3\cdot3+4\cdot1+0\cdot4=13.$

Находим элемент $ c_{22}$ . В его вычислении участвует вторая строка $ \left(\begin{array}{rrr}3&4&0\end{array}\right)$ первого сомножителя $ (A)$ и второй столбец $ \left(\begin{array}{r}-2\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ второго сомножителя $ (B)$ :

$\displaystyle c_{22}=3\cdot(-2)+4\cdot0+0\cdot(-3)=-6.$

Вычислены все элементы второй строки матрицы $ C$ . Аналогично находим элементы третьей строки:

$\displaystyle c_{31}=(-1)\cdot3+2\cdot1+(-2)\cdot4=-9,$

$\displaystyle c_{32}=(-1)\cdot(-2)+2\cdot0
+(-2)\cdot(-3)=8.$

Итак, $ C=\left(\begin{array}{rr}1&1\\ 13&-6\\ -9&8\end{array}\right)$ .

Рассмотрим произведение $ BA$ . Число столбцов в первом сомножителе $ (B)$ равно 2, число строк во втором сомножителе $ (A)$ равно 3. Числа не совпали, следовательно, произведение не определено.

Ответ: $ AB=\left(\begin{array}{rr}1&1\\ 13&-6\\ -9&8\end{array}\right)$ , произведение $ BA$ не определено.         

        Замечание 14.3   Легко проверить, что произведение квадратных матриц одного порядка всегда существует (определено).         

У читателя может возникнуть законный вопрос: "Зачем так сложно определять произведение матриц? Нельзя ли его определить попроще, например, как произведение элементов матриц-сомножителей, стоящих на одинаковых местах?" Ответ на этот вопрос мы увидим позже, когда будем рассматривать системы линейных уравнений, правило изменения координат векторов при изменении базиса и такие неизвестные пока читателю объекты как линейные преобразования и квадратичные формы. Тогда мы увидим, что введенное определение умножения матриц используется очень эффективно, что оно "похоже" на умножение чисел. Если же произведение матриц определить по-другому, то его не удается разумно использовать ни в математике, ни в прикладных науках.

Рассмотрим, какими свойствами обладает операция умножения матриц.

Прежде всего отметим, что умножение матриц -- некоммутативная операция. Это означает, что существуют такие матрицы $ A$ и $ B$ , что

$\displaystyle AB\ne BA.$

Для прямоугольных матриц мы убедились в этом в примере 14.3. В нем произведение $ AB$ существует, а произведение $ BA$  -- нет. Для квадратных матриц это видно из следующего примера. Пусть $ A=\left(\begin{array}{rr}1&0\\ 0&0\end{array}\right)$ , $ B
=\left(\begin{array}{rr}0&1\\ 0&0\end{array}\right)$ . Тогда

$\displaystyle AB=\left(\begin{array}{rr}1&0\\ 0&0\end{array}\right)\left(\begin...
...0&1\\ 0&0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}0&1\\ 0&0\end{array}\right),$

$\displaystyle BA=\left(\begin{array}{rr}0&1\\ 0&0\end{array}\right)\left(\begin...
...1&0\\ 0&0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}0&0\\ 0&0\end{array}\right),$

то есть $ AB\ne BA$ .

        Предложение 14.4   Умножение матриц обладает следующими свойствами: $ (AB)C=A(BC)$ -- ассоциативность умножения; $ {\lambda}(AB)=({\lambda}A)B=A({\lambda}B)$ , где $ {\lambda}$ -- число; $ A(B+C)=AB+AC$ , $ (A+B)C=AC+BC$ -- дистрибутивность умножения; $ EA=A$ , $ AE=A$ , где $ E$ -- единичная матрица соответствующего порядка. Предполагается, что все указанные произведения имеют смысл.

        Доказательство.     На протяжении всего доказательства предполагается, что $ A$  -- матрица размеров $ m\times n$ .

Докажем свойство ассоциативности. Чтобы произведение $ AB$ было определено, матрица $ B$ должна иметь размеры $ n\times k$ . Произведение $ AB$ обозначим буквой $ D$ . Тогда матрица $ D$ имеет размеры $ m\times k$ . Чтобы произведение $ (AB)C=DC$ было определено, матрица $ C$ должна иметь размеры $ k\times r$ . Матрицу $ (AB)C$ обозначим $ F$ , матрицу $ BC$ обозначим $ G$ , матрицу $ A(BC)$ обозначим $ H$ . Покажем, что элементы, стоящие в $ i$ -ой строке и $ j$ -ом столбце матриц $ F$ и $ H$ , равны друг другу, то есть что $ {f_{ij}=
h_{ij}}$ .

По определению

$\displaystyle f_{ij}=\sum_{s=1}^kd_{is}c_{sj},\quad d_{is}=\sum_{p=1}^n a_{ip}b_{ps}.$

Подставив $ d_{is}$ из второго равенства в первое, получим

$\displaystyle f_{ij}=\sum_{s=1}^k\left(\sum_{p=1}^n a_{ip}b_{ps}\right)c_{sj}.$

В силу предложения 14.1

$\displaystyle f_{ij}=\sum_{s=1}^k\left(\sum_{p=1}^n a_{ip}b_{ps}c_{sj}\right).$

В силу предложения 14.3

$\displaystyle f_{ij}=\sum_{p=1}^n\left(\sum_{s=1}^k a_{ip}b_{ps}c_{sj}\right).$ (14.6)

С другой стороны

$\displaystyle h_{ij}=\sum_{p=1}^n a_{ip}g_{pj},\quad g_{pj}=\sum_{s=1}^k b_{ps}c_{sj},$

откуда

$\displaystyle h_{ij}=\sum_{p=1}^n a_{ip}\left(\sum_{s=1}^k b_{ps}c_{sj}\right).$

Применим предложение 14.1

$\displaystyle h_{ij}=\sum_{p=1}^n \left(\sum_{s=1}^k a_{ip}b_{ps}c_{sj}\right).$

Сравнивая этот результат с (14.6), заключаем, что $ {f_{ij}=
h_{ij}}$ . Ассоциативность умножения доказана.

Свойство 2 предоставляем читателю доказать самостоятельно.

Докажем дистрибутивность умножения. Чтобы произведение $ {A(B+C)}$ было определено, матрицы $ B$ и $ C$ должны иметь размеры $ n\times k$ . Положим $ {D=B+C}$ , $ {F=A(B+C)}$ , $ {G=AB}$ , $ {H=AC}$ , $ {U=AB+AC}$ . Для доказательства равенства $ {A(B+C)=AB+AC}$ , нужно доказать, что $ {f_{ij}=u_{ij}}$ , $ {i=1,\ldots
,m}$ , $ {j=1,\dots,k}$ .

Так как $ F=AD$ , то

$\displaystyle f_{ij}=\sum_{s=1}^n a_{is}d_{sj}.$

По определению суммы матриц, $ d_{sj}=b_{sj}+c_{sj}$ . Следовательно,

$\displaystyle f_{ij}=\sum_{s=1}^na_{is}(b_{sj}+c_{sj}).$ (14.7)

С другой стороны,

$\displaystyle u_{ij}=g_{ij}+h_{ij},\quad g_{ij}=\sum_{s=1}^n a_{is}b_{sj},
\quad h_{ij}=\sum_{s=1}^n a_{is}c_{sj}.$

Тогда

$\displaystyle h_{ij}=\sum_{s=1}^na_{is}b_{sj}+\sum_{s=1}^na_{is}c_{sj}=
\sum_{...
..._{is}b_{sj}+a_{is}c_{sj}\right)=
\sum_{s=1}^na_{is}\left(b_{sj}+c_{sj}\right).$

Сравнивая полученный результат с (14.7), получаем $ f_{ij}=u_{ij}$ . Первое равенство в свойстве дистрибутивности доказано. Второе равенство доказывается аналогично.

Докажем первое равенство в свойстве 4. Чтобы произведение $ EA$ было определено, матрица $ E$ должна иметь порядок $ m$ . Пусть $ {C=EA}$ . Тогда

$\displaystyle c_{ij}=\sum_{s=1}^m{\delta}_s^ia_{sj},$

где $ {\delta}_s^i$  -- символ Кронекера. Сумма справа имеет вид

$\displaystyle c_{ij}=0\cdot a_{1j}+\ldots+0\cdot a_{i-1,j}+1\cdot a_{ij}+0\cdot a_{i+1,j}
+\ldots+0\cdot a_{mj}=a_{ij}.$

Таким образом $ C=A$ , первое равенство в свойстве 4 доказано. Второе равенство доказывается аналогично.     

        Замечание 14.4   Из ассоциативности умножения матриц следует, что если произведение содержит три и более сомножителей, то его можно записывать без использования скобок. Например, $ ABC$ или $ ABCD$ . Эта кажущаяся очевидной запись произведения верна не для всяких математических объектов. Действительно, в силу предложения 10.23, для векторного произведения векторов запись $ {{\bf a}\times {\bf b}\times
{\bf c}}$ неприемлема, так как результат вычисления этого произведения зависит от расстановки скобок.         

        Замечание 14.5   Свойство дистрибутивности позволяет раскрывать скобки в матричных выражениях. Но нужно обратить внимание, что, раскрывая скобки, нельзя менять порядок сомножителей.         

        Замечание 14.6   Свойство 4 объясняет происхождение названия "единичная" матрица. В умножении матриц единичная матрица ведет себя так же, как число 1 при умножении чисел.         



Упражнение14.4.6. Докажите, что произведение двух верхних треугольных матриц одного порядка является верхней треугольной матрицей того же порядка. Докажите аналогичное утверждение для нижних треугольных матриц.     



Упражнение14.4.7. По определению считается, что $ A^n=\underbrace{A\cdot\ldots\cdot A}_n$ . Покажите, что для матриц формула $ {(A+B)^2=A^2+2AB+B^2}$ не верна. Объясните почему.


Пошаговое решение индивидуальных заданий

СССР - Сайт самостоятельной студенческой работы