Примеры и задачи

        Пример 8.5   Найдём стационарные точки функции

$\displaystyle f(x;y)=x^2+xy+y^2-4x-2y,$

заданной на всей плоскости $ xOy$ .

Частные производные функции $ f$ равны

$\displaystyle f'_x(x;y)=2x+y-4;\ f'_y(x;y)=x+2y-2.$

В стационарной точке обе эти производные равны 0. Приравнивая полученные выражения к 0, получаем систему линейных уравнений:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}
2x+y-4=0;\\
x+2y-2=0.
\end{array}\right.$

Эта система имеет единственное решение: умножая первое уравнение на 2 и вычитая из него второе, получаем $ 3x-6=0$ , откуда $ x=3$ и $ y=0$ . Значит, $ (x_0;y_0)=(3;0)$  -- единственная стационарная точка функции $ f$ .     

        Пример 8.6   Найдём производную функции

$\displaystyle f(x;y)=3x^2+2xy$

в точке $ M_0(1;-2)$ по направлению $ \ell$ , составляющему угол $ 30^{\circ}$ с направлением оси $ Ox$ .

Из условия следует, что направляющие косинусы оси $ \ell$ равны

$\displaystyle \cos{\alpha}=\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2};\ %
\cos{\beta}=\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}.$

Частные производные функции $ f$ равняются

$\displaystyle f'_x=6x+2y;\ f'_y=2x.$

Их значение в точке $ M_0(1;-2)$ таково:

$\displaystyle f'_x(M_0)=6+2\cdot(-2)=2;\ f'_y(M_0)=2\cdot1=2.$

Для нахождения производной по направлению применяем формулу

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial\ell}(M_0)=
\frac{\partial f}{\partial x}(M_0)\cos{\alpha}+
\frac{\partial f}{\partial y}(M_0)\cos{\beta}.$

Получаем:

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial\ell}(M_0)=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+2\cdot\frac{1}{2}=\sqrt{3}+1.$

    

        Пример 8.7   Найдём производную функции

$\displaystyle f(x;y;z)=xy^2z+3x^2yz^3$

в точке $ M_0(-1;1;2)$ по направлению $ \ell$ , заданному вектором $ a=(1;-2;2)$ .

Находим единичный направляющий вектор $ \tau$ оси $ \ell$ :

$\displaystyle \tau=\frac{1}{\vert a\vert}a.$

Поскольку $ \vert a\vert=\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}=3$ , получаем, что

$\displaystyle \tau=\frac{1}{3}(1;-2;2)=\Bigl(\frac{1}{3};-\frac{2}{3};\frac{2}{3}\Bigr).$

Найдём теперь градиент: поскольку

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=y^2z+6xyz^3;\ %
\frac{\partial f}{\partial y}=2xyz+3x^2z^3;\ %
\frac{\partial f}{\partial z}=xy^2+9x^2yz^2$

и

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(M_0)=-46;\ %
\frac{\partial f}{\partial y}(M_0)=20;\ %
\frac{\partial f}{\partial z}(M_0)=35,$

то

$\displaystyle (\mathop{\rm grad}\nolimits f)(M_0)=(-46;20;35).$

Теперь находим производную по направлению:

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial\ell}(M_0)=(\mathop{\rm grad}\nolimits ...
...\frac{1}{3}+20\cdot\Bigl(-\frac{2}{3}\Bigr)+35\cdot\frac{2}{3}=
-\frac{16}{3}.$

    
        Пример 8.8   Найдём уравнение касательной плоскости к поверхности $ S$ , заданной уравнением

$\displaystyle \frac{x^2}{2}-y^2-z=0,$

в точке $ M_0(2;-1;1).$

Уравнение касательной плоскости к поверхности $ S=\{f(x;y;z)=0\}$ в точке $ M_0(x_0;y_0;z_0)\in S$ имеет вид

$\displaystyle f'_x(x_0;y_0;z_0)(x-x_0)+
f'_y(x_0;y_0;z_0)(y-y_0)+
f'_z(x_0;y_0;z_0)(z-z_0)=0.$

Находим частные производные и их значения в точке $ M_0$ :

$\displaystyle f'_x=x;\ f'_y=-2y;\ f'_z=-1;$

$\displaystyle f'_x(x_0;y_0;z_0)=2;\ f'_y(x_0;y_0;z_0)=2;\ f'_z(x_0;y_0;z_0)=-1.$

Поэтому искомое уравнение касательной плоскости имеет вид

$\displaystyle 2(x-2)+2(y+1)-(z-1)=0,$

или

$\displaystyle 2x+2y-z-1=0.$

    

        Пример 8.9   Найдём уравнения касательной и нормали, проведённых к линии уровня $ C=3$ функции $ f(x;y)=2x^2y^3+xy^4$ в точке $ M_0(1;1)$ .

Линия уровня задаётся уравнением

$\displaystyle 2x^2y^3+xy^4=3.$

Касательная к этой линии уровня имеет вид

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(M_0)(x-x_0)+
\frac{\partial f}{\partial y}(M_0)(y-y_0)=0,$

а нормаль (напомним, что нормаль -- это прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательно) можно задать уравнением вида

$\displaystyle \frac{x-x_0}{\frac{\partial f}{\partial x}(M_0)}=
\frac{y-y_0}{\frac{\partial f}{\partial y}(M_0)}.$

Вычисляем значения частных производных:

$\displaystyle f'_x=4xy^3+y^4;\ f'_y=6x^2y^2+4xy^3;$

$\displaystyle f'_x(M_0)=4+1=5;\ f'_y(M_0)=6+4=10,$

откуда получаем уравнение касательной:

$\displaystyle 5(x-1)+10(y-1)=0,$ или $\displaystyle x+2y-3=0,$

и нормали:

$\displaystyle \frac{x-1}{5}=\frac{y-1}{10},$ или $\displaystyle 2x-y-1=0.$

    

        Пример 8.10   Найдём уравнения касательной плоскости и нормали, проведённых к поверхности уровня функции $ f(x;y;z)=x^2+y^2+4z^2$ , проходящей через точку $ M_0(-2;1;-1)$ .

Найдём уравнение поверхности уровня: поскольку $ f(M_0)=4+1+4=9,$ поверхность уровня задаётся уравнением

$\displaystyle x^2+y^2+4z^2=9,$ или $\displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{9}+\frac{z^2}{\frac{9}{4}}=1.$

Это уравнение задаёт эллипсоид вращения (вокруг оси $ Oz$ ) с центром в точке $ O(0;0;0)$ и полуосями $ a=3$ , $ b=3$ и $ c=\frac{\textstyle{3}}{\textstyle{2}}$ .

Найдём значения частных производных функции $ f$ в точке $ M_0$ :

$\displaystyle f'_x(M_0)=2x\Bigr\vert _{M_0}=-4;\
f'_y(M_0)=2y\Bigr\vert _{M_0}=2;\
f'_z(M_0)=8z\Bigr\vert _{M_0}=-8.$

Записываем уравнение касательной плоскости в виде

$\displaystyle f'_x(M_0)(x-x_0)+
f'_y(M_0)(y-y_0)+
f'_z(M_0)(z-z_0)=0,$

то есть

$\displaystyle -4(x+2)+2(y-1)-8(z+1)=0,$ или $\displaystyle 2x-y+4z+9=0.$

Уравнения нормальной прямой записываем в виде

$\displaystyle \frac{x-x_0}{f'_x(M_0)}=
\frac{y-y_0}{f'_y(M_0)}=
\frac{z-z_0}{f'_z(M_0)},$

то есть

$\displaystyle \frac{x+2}{-4}=
\frac{y-1}{2}=
\frac{z+1}{-1}.$

    


Пошаговое решение индивидуальных заданий

СССР - Сайт самостоятельной студенческой работы