Примеры исследования функций и построения графиков

        Пример 7.39   Построим график функции $ g(x)=2x^3-3x^2+x+5$.

1). Функция $ g(x)$ -- многочлен, а у всех многочленов область определения -- вся вещественная ось: $ \mathcal{D}(g)=\mathbb{R}$.

2). Многочлены бывают чётными функциями, если содержат только чётные степени переменного $ x$, и нечётными функциями, если содержат только нечётные степени $ x$. Для функции $ g(x)$ это не так, значит, $ g(x)$ не является ни чётной, ни нечётной функцией.

Периодическими из всех многочленов бывают только постоянные, то есть не зависящие от $ x$; в нашем случае это не так, поэтому $ g(x)$ -- не периодическая функция.

3). Вертикальных асимптот график не имеет, поскольку область определения не имеет граничных точек. (У графиков многочленов вообще не бывает вертикальных асимптот.)

4). Поскольку многочлен имеет степень 3 (а не 1 или 0), то его график не имеет наклонных или горизонтальных асимптот.

5). Пересечение с осью $ Oy$ найдём, вычислив значение $ g(x)$ при $ x=0$: имеем $ {g(0)=2\cdot0^3-3\cdot0^2+0+5=5}$. Для нахождения пересечений графика с осью $ Ox$ следует решить уравнение $ 2x^3-3x^2+x+5=0$. Целых корней это уравнение не имеет. Вычисляя значения в некоторых целых точках, например,

$\displaystyle g(-2)=-25; g(-1)=-1; g(0)=5; g(1)=5; g(2)=11,$

мы начинаем подозревать, что уравнение имеет только один корень $ x_0$, лежащий на интервале $ (-1;0)$, причём ближе к точке $ -1$, чем к 0. (Действительно, если применить какой-либо из методов приближённого нахождения корней алгебраического уравнения, мы получим, что $ x_0\approx-0.919$. Эти методы мы изучим ниже, в главе 9. А пока нам достаточно того, что $ x_0\in(-1;0)$.) Заметим, что $ g(x)$ меняет знак с $ -$ на $ +$ при переходе через точку $ x_0$.

6). Производная данной функции равна $ g'(x)=6x^2-6x+1$. Найдём интервалы возрастания функции, решая неравенство $ 6x^2-6x+1>0$. Корни квадратного трёхчлена -- это $ \frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{6}\approx0.5\pm0.285$, значит, решением неравенства служит объединение интервалов $ (-\infty;\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6})\approx(-\infty;0.215)$ и $ (\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{6};+\infty)\approx(0.785;+\infty)$. На каждом из этих интервалов функция $ g(x)$ возрастает. Интервалы убывания задаются обратным неравенством $ g'(x)<0$, то есть $ 6x^2-6x+1<0$. Его решением служит интервал $ (\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6};\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{6})
\approx(0.215;0.785)$. На этом интервале функция убывает.

В точке $ x_1=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}\approx0.215$ возрастание функции сменяется убыванием, значит, $ x_1$ -- точка локального максимума. Значение функции в этой точке равно

$\displaystyle g(x_1)=\frac{2\sqrt{3}}{9}+5\approx5.38.$

В точке $ x_2=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{6}\approx0.785$ убывание функции сменяется возрастанием, значит, $ x_2$ -- точка локального минимума. Значение функции в этой точке равно

$\displaystyle g(x_2)=-\frac{2\sqrt{3}}{9}+4.5\approx4.12.$

Как мы видим, на участке убывания значения функции изменяются от $ 5.38$ до $ 4.12$ и остаются положительными. Это доказывает, что сама функция действительно имеет только один корень.

7). Вторая производная функции равна $ g''(x)=12x-6$. Для отыскания интервала выпуклости решим неравенство $ g''(x)>0$, то есть $ 12x-6>0$, откуда $ x>\frac{1}{2}$. Значит, функция выпукла на интервале $ (\frac{1}{2};+\infty)$. Обратное неравенство $ g''(x)<0$ даёт нам интервал вогнутости; очевидно, это $ (-\infty;\frac{1}{2})$. В точке $ \frac{1}{2}$ направление выпуклости меняется, следовательно, $ \frac{1}{2}$ -- это точка перегиба. Значение функции в этой точке равно $ g(\frac{1}{2})=5$.

8). С учётом предыдущих семи пунктов строим график функции $ g(x)$.

Рис.7.46.График функции $ 2x^3-3x^2+x+5$


    

        Пример 7.40   Исследуем функцию $ f(x)=\dfrac{x^3}{x^2+1}$ и построим её график.

1). Поскольку знаменатель положителен при всех $ x$, область определения функции -- вся ось $ Ox$.

2). Функция $ f(x)$ -- нечётная, поскольку при смене знака $ x$ числитель меняет знак, а знаменатель остаётся без изменения, откуда $ f(-x)=-f(x)$. Следовательно, график функции симметричен относительно начала координат.

Периодической функция не является.

3). Поскольку область определения этой элементарной функции -- вся вещественная ось, вертикальных асимптот график не имеет.

4). Найдём наклонные асимптоты при $ x\to\pm\infty$ в виде $ y=kx+b$. Имеем:

$\displaystyle k=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}=
\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^2}{x^2+1}=
\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{1}{1+\frac{1}{x^2}}=\dfrac{1}{1+0}=1;$

$\displaystyle b=\lim_{x\to\pm\infty}[f(x)-kx]=
\lim_{x\to\pm\infty}[\dfrac{x^3...
...}=
\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x^2}}=\dfrac{0}{1+0}=0.$

Таким образом, асимптотой как при $ x\to-\infty$, так и при $ x\to+\infty$ служит прямая $ y=1x+0=x$.

5). Найдём точки пересечения с осями координат. Имеем: $ f(0)=0$, причём $ x=0$ -- единственное решение уравнения $ f(x)=0$. Значит, график $ y=f(x)$ пересекает сразу и ось $ Ox$, и ось $ Oy$ в начале координат.

Очевидно, что $ f(x)>0$ при $ x>0$ и $ f(x)<0$ при $ x<0$.

6). Найдём производную:

$\displaystyle f'(x)=\dfrac{3x^2(x^2+1)-x^3\cdot2x}{(x^2+1)^2}=
\dfrac{x^4+3x^2}{(x^2+1)^2}=
\dfrac{x^2(x^2+3)}{(x^2+1)^2}.$

Очевидно, что $ f'(x)\geqslant 0$ при всех $ x\in\mathbb{R}$; единственная точка, в которой $ f'(x)=0$ -- это $ x=0$. Значит, функция $ f(x)$ возрастает на всей оси $ Ox$, а в стационарной точке $ x=0$ имеет горизонтальную касательную.

7). Найдём вторую производную:

$\displaystyle f''(x)=\dfrac{(4x^3+6x)(x^2+1)^2-(x^4+3x^2)\cdot2(x^2+1)\cdot2x}{(x^2+1)^4}=
\dfrac{2x(3-x^2)}{(x^2+1)^3}.$

Знаменатель этой дроби положителен при всех $ x$. Числитель имеет корни $ x=0$ и $ x=\pm\sqrt{3}$, при этом $ f''(x)>0$ на интервалах $ (-\infty;-\sqrt{3})$ и $ (0;\sqrt{3})$ -- на этих интервалах функция выпукла. На интервалах $ (-\sqrt{3};0)$ и $ (\sqrt{3};+\infty)$ выполняется обратное неравенство $ f''(x)<0$, здесь функция вогнута. Все три точки, в которых $ f''(x)=0$, то есть точки $ -\sqrt{3},\;0,\;\sqrt{3}$, являются точками перегиба.

8). Теперь мы можем построить график с учётом всех предыдущих пунктов исследования функции. График имеет такой вид:

Исследование функции в решебнике zoMbi

Рис.7.47.График функции $ f(x)=\dfrac{x^3}{x^2+1}$


    

        Пример 7.41   Исследуем функцию $ f(x)=\dfrac{x^2+x}{x^2-3x+2}$ и построим её график.

1). Заметим, что знаменатель имеет корни $ 1$ и $ 2$, так что функцию можно представить в виде

$\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2+x}{(x-1)(x-2)}.$

Теперь легко видеть, что области определения функции не принадлежат только точки 1 и 2:

$\displaystyle \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{1;2\}=(-\infty;1)\cup(1;2)\cup(2;+\infty).$

Область значений $ \mathcal{E}(f)$ найти без всяких вычислений мы не можем; отложим этот вопрос до нахождения локальных экстремумов.

2). Поскольку область определения $ \mathcal{D}(f)$ не симметрична относительно точки 0, функция не может быть ни чётной, ни нечётной. Очевидно также, что она не периодична (хотя бы потому, что её область определения не имеет периодической структуры).

3). Область определения этой элементарной функции имеет две граничных точки: 1 и 2.

При $ x\to1$ значение числителя стремится к $ 1^2+1=2$, а знаменателя -- к 0, поэтому $ f(x)\to\infty$ при $ x\to1$. Значит, вертикальная прямая $ x=1$ -- это вертикальная асимптота графика $ y=f(x)$. При $ x\to1-$ (то есть в достаточно малой левой окрестности точки 1) числитель положителен, а знаменатель состоит из двух отрицательных сомножителей, откуда следует, что $ f(x)\to+\infty$ при $ x\to1-$. При $ x\to1+$ числитель снова положителен, а в знаменателе множитель $ x-1$ положителен, а $ x-2$ отрицателен. Получаем, что $ f(x)\to-\infty$ при $ x\to1+$.

При $ x\to2$ предел числителя равен $ 2^2+2=6$, а знаменателя -- нулю, поэтому $ {f(x)\to\infty}$ при $ x\to2$. Тем самым, вертикальная прямая $ x=2$ служит второй вертикальной асимптотой графика $ y=f(x)$. При $ x\to2-$ числитель положителен, а знаменатель отрицателен, поскольку $ x-1>0$, а $ x-2<0$. Отсюда следует, что $ f(x)\to-\infty$ при $ x\to2-$. При $ x\to2+$ числитель снова положителен, а в знаменателе оба множителя положительны. Получаем, что $ f(x)\to+\infty$ при $ x\to2+$.

4). Поскольку числитель и знаменатель -- многочлены одной и той же (второй) степени, то легко видеть, что $ f(x)$ имеет предел при $ x\to\pm\infty$:

$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\dfrac{x^2+x}{x^2-3x+2}=
\lim_{x\to\infty}\dfrac{1+\frac{1}{x^2}}{1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}=
\dfrac{1+0}{1-0+0}=1.$

Следовательно, горизонтальная прямая $ y=1$ служит горизонтальной асимптотой графика как при $ x\to-\infty$, так и при $ x\to+\infty$. (Искать наклонную асимптоту в виде $ y=kx+b$ и находить $ k$ и $ b$ по общим формулам нам теперь нет никакой необходимости.)

5). Найдём точки пересечения графика с осями координат. Поскольку $ f(0)=0$, то график пересекает ось $ Oy$ (и, одновременно, ось $ Ox$) в начале координат.

Приравнивая числитель к нулю, получаем уравнение $ x^2+x=0$, которое имеет два корня: $ x=0$ и $ x=-1$. Значит, график пересекает ось $ Ox$ в этих двух точках (одну из них мы уже отметили ранее).

Пользуясь методом интервалов (известным из школьной программы), определим знак функции на интервалах между корнями и точками разрыва. Таких интервалов получается пять: $ (-\infty;-1)$; $ (-1;0)$; $ (0;1)$; $ (1;2)$; $ (2;+\infty)$.

Рис.7.48.Интервалы знакопостоянства функции $ f(x)$


На этом рисунке знаком $ +$ отмечены те интервалы, на которых функция положительна, и знаком $ -$ те, где она отрицательна.

6). Найдём производную:

$\displaystyle f'(x)=\dfrac{-4x^2+4x+2}{(x-1)^2(x-2)^2}.$

Для нахождения интервалов возрастания решим неравенство $ f'(x)>0$, эквивалентное квадратному неравенству $ -4x^2+4x+2>0$ (при $ x\ne1,\;x\ne2$), поскольку знаменатель принимает положительные значения. Решением квадратного неравенства служит интервал $ (\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2})$; однако точка $ x=1$, не входящая в $ \mathcal{D}(f)$, принадлежит этому интервалу. Тем самым, интервалов возрастания функции $ f(x)$ два: это $ (\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2};1)$ и $ (1;\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Для нахождения интервалов убывания нужно решить неравенство $ f'(x)<0$, или $ {-4x^2+4x+2<0}$ (при $ x\ne1,\;x\ne2$). Решением квадратного неравенства служит, очевидно, объединение двух интервалов $ (-\infty;
\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2})$ и $ (\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2};+\infty)$; точка $ x=2$ делит второй из них на две части. Тем самым, функция $ f(x)$ убывает на трёх интервалах: $ (-\infty;
\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2})$, $ (\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2};2)$ и $ (2;+\infty)$.

В точке $ x_1=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}$ убывание функции сменяется возрастанием. При этом $ f(x)$ непрерывна в точке $ x_1$, как любая элементарная функция в любой точке своей области определения. Значит, $ x_1$ -- точка локального минимума. Значение функции в этой точке минимума равно

$\displaystyle f_{\min}=f(x_1)=\dfrac{3-2\sqrt{3}}{3+2\sqrt{3}}=4\sqrt{3}-7\approx-0.2.$

В точке $ x_2=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}$ возрастание функции сменяется убыванием. При этом функция $ f(x)$ непрерывна в точке $ x_2\in\mathcal{D}(f)$. Значит, $ x_2$ -- точка локального максимума. Значение функции в точке максимума равно

$\displaystyle f_{\max}=f(x_2)=\dfrac{3+2\sqrt{3}}{3-2\sqrt{3}}=-4\sqrt{3}-7\approx-13.8.$

Теперь мы можем записать область значений функции: это

$\displaystyle \mathcal{E}(f)=(-\infty;f_{\max}]\cup[f_{\min};+\infty)\approx
(-\infty;-13.8]\cup[-0.2;+\infty).$

7). Найдём вторую производную:

$\displaystyle f''(x)=4\dfrac{2x^3-3x^2+x+5}{(x-1)^3(x-2)^3}.$

Для нахождения интервалов выпуклости нужно решить неравенство $ f''(x)>0$. Заметим, что числитель совпадает с функцией $ g(x)$, рассмотренной нами в предыдущем примере. Там мы видели, что $ g(x)$ меняет знак при переходе через точку $ x_0\approx-0.919$. Поскольку знаменатель содержит нечётные степени биномов $ x-1$ и $ x-2$, то они также меняют знак при переходе, соответственно, через точки 1 и 2. Итак, $ f''(x)$ меняет знак при переходе через три точки: $ x_0$, 1 и 2. Из этих трёх точек функция $ f(x)$ непрерывна только в точке $ x_0$, так что это единственная точка перегиба. Методом интервалов легко выясняем, что на интервалах $ (-\infty;x_0)$ и $ (1;2)$ функция вогнута, а на интервалах $ (x_0;1)$ и $ (2;+\infty)$ -- выпукла.

8). С учётом предыдущих семи пунктов строим график функции $ y=f(x)$.

Исследование функции

Рис.7.49.График функции $ f(x)=\dfrac{x^2+x}{x^2-3x+2}$


Глядя на график, замечаем, что для полноты картины хорошо бы ещё найти ту точку, где график пересекается с горизонтальной асимптотой $ y=1$. Для этого решим уравнение $ f(x)=1$, то есть $ \dfrac{x^2+x}{x^2-3x+2}=1.$ Его решением служит число $ x=\frac{1}{2}$. Отметим эту точку на оси $ Ox$. Теперь наш чертёж отмечает все особенности графика.     

        Пример 7.42   Исследуем функцию $ f(x)=(x^2-2x)e^x$ и построим её график.

1). Ясно, что $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$, поскольку оба сомножителя в выражении $ f(x)$ определены при любом $ x$. Область значений $ \mathcal{E}(f)$ найдём после того, как отыщем локальные экстремумы функции.

2). Функция не является ни чётной, ни нечётной; не является она и периодической.

3). Область определения не имеет граничных точек, значит, нет и вертикальных асимптот графика.

4). Будем искать наклонные асимптоты в виде $ y=kx+b$. Коэффициент $ k$ найдём по формуле $ k=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}$: при $ x\to+\infty$ имеем

$\displaystyle k=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{(x^2-2x)e^x}{x}=
\lim_{x\to+\infty}(x-2)e^x=+\infty,$

так что при $ x\to+\infty$ асимптоты нет, причём функция $ f(x)$ стремится к $ +\infty$ при $ {x\to+\infty}$.

При $ x\to-\infty$ имеем:

$\displaystyle k=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{(x^2-2x)e^x}{x}=
\lim_{x\to-\infty}\dfrac{x-2}{e^{-x}}=
\lim_{x\to-\infty}\dfrac{1}{-e^{-x}}=0$

(для раскрытия неопределённости вида $ [\frac{\infty}{\infty}]$ мы применили правило Лопиталя). Теперь найдём значение $ b$ по формуле $ b=\lim\limits_{x\to\pm\infty}[f(x)-kx]$. Имеем:

$\displaystyle b=\lim\limits_{x\to-\infty}[f(x)-0x]=
\lim_{x\to-\infty}\dfrac{x...
...\lim_{x\to-\infty}\dfrac{2x-2}{-e^{-x}}=
\lim_{x\to-\infty}\dfrac{2}{e^{-x}}=0$

(здесь мы применили правило Лопиталя два раза подряд). Таким образом, $ k=0$ и $ b=0$, так что при $ x\to-\infty$ асимптота имеет уравнение $ y=0$, то есть совпадает с осью $ Ox$.

5). Точка пересечения с осью $ Oy$ равна $ f(0)=0$. Заодно нашли одну точку пересечения с осью $ Ox$. Чтобы найти все точки пересечения графика с осью $ Ox$, решаем уравнение $ (x^2-2x)e^x=0$. Поскольку $ e^x\ne0$, решаем уравнение $ x^2-2x=x(x-2)=0$, откуда получаем два корня: $ x=0$ и $ x=2$. Так как точек разрыва нет, то имеем три интервала знакопостоянства функции: $ (-\infty;0)$, $ (0;2)$ и $ (2;+\infty)$. Знак функции определяется множителем $ x^2-2x$, поскольку $ e^x>0$ при всех $ x$. Значит, $ f(x)>0$ при $ x\in(-\infty;0)$ и при $ x\in(2;+\infty)$ и $ f(x)<0$ при $ x\in(0;2)$.

6). Вычислим производную:

$\displaystyle f'(x)=(x^2-2x)e^x+(2x-2)e^x=(x^2-2)e^x.$

Интервалы возрастания задаются неравенством $ f'(x)>0$, то есть, с учётом того, что $ e^x>0$, неравенством $ x^2-2>0$. Решением этого неравенства служит множество $ (-\infty;-\sqrt{2})\cup(\sqrt{2};+\infty).$ На этих двух интервалах функция возрастает. Легко видеть, что на интервале $ (-\sqrt{2};\sqrt{2})$ выполняется неравенство $ f'(x)<0$, следовательно, это интервал убывания функции. В точке $ -\sqrt{2}$ возрастание сменяется убыванием, значит, точка $ -\sqrt{2}$ -- точка локального максимума. Значение функции в этой точке равно

$\displaystyle f_{\max}=f(-\sqrt{2})=(2+2\sqrt{2})e^{-\sqrt{2}}\approx1.17.$

В точке $ \sqrt{2}$ убывание сменяется возрастанием, значит, точка $ \sqrt{2}$ -- точка локального минимума функции. Значение функции в точке минимума таково:

$\displaystyle f_{\min}=f(\sqrt{2})=(2-2\sqrt{2})e^{\sqrt{2}}\approx-3.41.$

Теперь мы можем примерно представить, как идёт график функции:

Рис.7.50.Эскиз графика функции $ f(x)$


Становится очевидно, что область значений функции -- это

$\displaystyle \mathcal{E}(f)=[f_{\min};+\infty)\approx[-3.41;+\infty).$

7). По эскизу графика видно, что где-то в местах, обведённых кружочками, должно смениться направление выпуклости, то есть должны быть точки перегиба. Для исследования этого найдём вторую производную:

$\displaystyle f''(x)=(x^2-2)e^x+2xe^x=(x^2+2x-2)e^x.$

Решим неравенство $ f''(x)>0$, эквивалентное неравенству $ x^2+2x-2>0$. Решением этого квадратного неравенства служит объединение интервалов $ (-\infty;-1-\sqrt{3})\approx(-\infty;-2.7)$ и $ (-1+\sqrt{3};+\infty)\approx(0.7;+\infty)$. На этих интервалах функция выпукла. Ясно, что на интервале $ (-1-\sqrt{3};-1+\sqrt{3})\approx(-2.7;0.7)$ функция будет вогнутой. Тем самым точки $ x_1=-1-\sqrt{3}\approx-2.7$ и $ x_2=-1+\sqrt{3}\approx0.7$ -- это точки перегиба. Значения функции в точках перегиба такие:

$\displaystyle f(x_1)=(6+4\sqrt{3})e^{-1-\sqrt{3}}\approx0.84;$

$\displaystyle f(x_2)=(6-4\sqrt{3})e^{-1+\sqrt{3}}\approx-1.93.$

8). Осталось построить окончательный чертёж:

Рис.7.51.График функции $ f(x)=(x^2-2x)e^x$


    

Пошаговое решение индивидуальных заданий

СССР - Сайт самостоятельной студенческой работы