Общая схема исследования функции и построения её графика

После того как мы обсудили многие аспекты поведения функции и способы их исследования, сформулируем общую схему исследования функции. Эта схема даст нам практический способ построения графика функции, отражающего основные черты её поведения.

Пусть дана функция $ f(x)$. Для её исследования нужно:

1). Найти её область определения $ \mathcal{D}(f)$. Если это не слишком сложно, то полезно найти также область значений $ \mathcal{E}(f)$. (Однако, во многих случаях, вопрос нахождения $ \mathcal{E}(f)$ откладывается до нахождения экстремумов функции.)

2). Выяснить общие свойства функции, которые помогут в определении её поведения: не является ли функция чётной либо нечётной (быть может, после сдвига влево или вправо по оси $ Ox$), не является ли она периодической.

3). Выяснить, как ведёт себя функция при приближении аргумента $ x$ к граничным точкам области определения $ \mathcal{D}(f)$, если такие граничные точки имеются. При этом могут обнаружиться вертикальные асимптоты. Если функция имеет такие точки разрыва, в которых она определена, то эти точки тоже проверить на наличие вертикальных асимптот функции. Поясним сказанное примером:

        Пример 7.36   Пусть $ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\dfrac{1}{x^2},&\mbox{ при }x\ne0;\\
0,&\mbox{ при }x=0.
\end{array}\right.
$ Эта функция определена на всей числовой оси, однако 0 является точкой разрыва функции: при $ x\to0$ функция стремится к $ +\infty$. Значит, вертикальная прямая $ x=0$ служит вертикальной асимптотой функции, хотя функция и определена в точке $ x=0$.     

4). Если область определения $ \mathcal{D}(f)$ вклоючает в себя лучи вида $ (a;+\infty)$ или $ (-\infty;b)$, то можно попытаться найти наклонные асимптоты (или горизонтальные асимптоты) при $ x\to+\infty$ или $ x\to-\infty$ соответственно.

5). Найти точку пересечения графика с осью $ Oy$ (если $ 0\in\mathcal{D}(f)$). Для этого нужно вычислить значение $ f(0)$. Найти также точки пересечения графика с осью $ Ox$, для чего найти корни уравнения $ {f(x)=0}$ (или убедиться в отсутствии корней). Уравнение $ {f(x)=0}$ часто удаётся решить лишь приближённо, но уже отделение корней19 помогает лучше уяснить строение графика. Далее, нужно определить знак функции на промежутках между корнями и точками разрыва.

6). Найти интервалы монотонности функции $ f(x)$ (то есть интервалы возрастания и убывания). Это делается с помощью исследования знака производной $ f'(x)$.

На стыках интервалов монотонности найти точки локального экстремума; вычислить значение функции в этих точках. Если функция имеет критические точки, не являющиеся точками локального экстремума, то полезно вычислить значение функции и в этих точках.

7). Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции. Это делается с помощью исследования знака второй производной $ f''(x)$. Найти точки перегиба на стыках интервалов выпуклости и вогнутости. Вычислить значение функции в точках перегиба. Если функция имеет другие точки непрерывности (кроме точек перегиба), в которых вторая производная равна 0 либо не существует, то в этих точках также полезно вычислить значение функции.

8). В некоторых случаях бывает нужно найти характерные точки графика, которые не были упомянуты в предыдущих пунктах. Например, если функция имеет наклонную асимптоту, то можно попытаться выяснить, нет ли точек пересечения графика с этой асимптотой.

После выяснения свойств функции, упомянутых в пунктах 1 - 8, и нахождения опорных точек (точек пересечения с осями координат, точек графика, соответствующих точкам локального экстремума, точкам перегиба и проч.) мы можем достаточно точно построить график.

Обсудим теперь подробнее некоторые из этих пунктов.

1). Область определения функции. В некоторых примерах область определения $ \mathcal{D}(f)$ задаётся в самом условии задачи, например: "Построить график функции, заданной при $ x\in\dots$". Однако часто функция задаётся некоторой формулой, выражающей $ f(x)$ как элементарную функцию, вроде:

$\displaystyle f(x)=\ln\vert\mathop{\rm tg}\nolimits (\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4})\vert.$

В таком случае принято считать, что областью определения служит максимально широкое множество значений $ x$, при которых правая часть формулы $ f(x)=\dots$ имеет смысл.

Из этого соглашения по умолчанию есть одно исключение. Если функция имеет вид $ f(x)=u(x)^{v(x)}$ или содержит выражения такого рода, то принято считать, что выражение $ u(x)$ должно быть положительно, если $ v(x)$ принимает значения любого знака, или $ u(x)$ неотрицательно, если $ v(x)$ положительно. При этом игнорируется тот факт, что выражение $ u(x)^{v(x)}$ может иметь смысл и при некоторых других (исключительных) значениях $ u(x)$ и $ v(x)$, например, когда $ u(x)<0$ и $ v(x)$ принимает целое значение.

        Пример 7.37   Для функции $ f(x)=(\frac{1}{x})^{\frac{1}{x}}$ считаем, что $ \mathcal{D}(f)=(0;+\infty)$, хотя правая часть имеет смысл также при всех целых отрицательных $ x$.     

        Замечание 7.14   При исследовании некоторых функций подробное исследование области определения мы вынуждены будем пропустить или ограничиться общими рассуждениями, ввиду сложности точного решения вопроса.

Например, область определения функции $ f(x)=\sqrt{2x^7-3x^5+x^4-x+2}$ задаётся как решение неравенства $ 2x^7-3x^5+x^4-x+2\geqslant 0$. Однако решить это неравенство "точно", то есть найти выражения через радикалы от известных чисел для точек, задающих левые и правые концы интервалов (или интервала?) области определения, по-видимому, невозможно. Можно лишь сказать, что решение будет заведомо содержать целиком луч вида $ (a;+\infty)$ при некотором $ a$; кроме того, непосредственная проверка показывает, что точки $ -1$ и 0, например, принадлежат $ \mathcal{D}(f)$, а точка $ -2$ -- нет. Более точно можно описать $ \mathcal{D}(f)$, найдя корни уравнения $ 2x^7-3x^5+x^4-x+2=0$ приближённо, с достаточно малой погрешностью, и исследовав знак функции $ 2x^7-3x^5+x^4-x+2$ между этими корнями.

Способы приближённого отыскания корней алгебраических уравнений мы обсудим ниже, в главе 9.     

2). Особые свойства функции. Не любая функция обладает такими свойствами, как чётность либо нечётность. Функция заведомо не является ни чётной, ни нечётной, если её область определения несимметрична относительно точки 0 на оси $ Ox$. Точно так же, у любой периодической функции область определения состоит либо из всей вещественной оси, либо из объединения периодически повторяющихся систем промежутков.

Так что если, например, при рассмотрении предыдущего пункта выяснилось, что область определения не обладает свойством симметричности либо периодичности, то заниматься исследованием соответствующих особых свойств функции нет нужды.

3). Вертикальные асимптоты. Если функция $ f(x)$ -- элементарная, то на всех интервалах области определения $ \mathcal{D}(f)$ функция $ f$ непрерывна. Значит, вертикальные асимптоты могут появиться только на границах интервалов, составляющих $ \mathcal{D}(f)$.

Однако не на каждой из границ этих интервалов непременно возникает вертикальная асимптота: например, функция $ f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}$ имеет область определения $ \mathcal{D}(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$, и единственной точкой границы $ \mathcal{D}(f)$ служит $ x=0$. Однако вертикальная прямая $ x=0$ не является вертикальной асимптотой функции, так как $ \lim\limits_{x\to0}f(x)=0$.

4). Наклонные и горизонтальные асимптоты. При их поиске, как и при поиске других асимптотических линий (не обязательно прямых) полезно выделить более просто, чем $ f(x)$, устроенную главную часть функции, то есть такую функцию $ f_1(x)$, что разность $ f(x)-f_1(x)$ -- бесконечно малая при $ x\to+\infty$ или $ x\to-\infty$. Тогда график главной части $ y=f_1(x)$ и есть искомая асимптотическая линия. Если ясно, что асимптотическая линия не имеет наклонной либо горизонтальной асимптоты, то её не имеет и исходный график $ y=f(x)$. Заметим, что все многочлены $ P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\ldots+a_{n-1}x+a_n$ (при $ a_0\ne0$ и $ n\geqslant 2$) не имеют асимптотических линий вида $ y=kx+b$ (докажите это!). Следовательно, искать в виде $ y=kx+b$ прямолинейные наклонные либо горизонтальные асимптоты у тех графиков, которые имеют асимптотические линии в виде графиков многочленов, в том числе у самих многочленов степени $ \geqslant 2$, -- дело бессмысленное: этих прямолинейных асимптот всё равно нет!

        Пример 7.38   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^2+1+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^4}.$ Эта функция имеет главную часть $ f_1(x)=x^2+1$, так как разность $ f(x)-f_1(x)=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^4}$, очевидно, стремится к 0 при $ x\to\pm\infty$. Поэтому парабола $ y=x^2+1$ -- это асимптотическая линия для графика $ y=f(x)$; следовательно, прямолинейных наклонных и горизонтальных асимптот график этой функции не имеет.     

5). Нахождение точки пересечения графика с осью $ Oy$ состоит в простом вычислении значения функции при $ x=0$. Нахождение же точек пересечения с осью $ Ox$ может привести к необходимости решить сложное алгебраическое уравнение, что, быть может, удастся сделать лишь приближённо. О приближённом нахождении корней уравнений см. ниже, в гл. 9. Отыскав корни функции $ f(x)$ и точки разрыва, мы можем определить знак функции на каждом из интервалов между этими точками. Это можно сделать либо вычислив значение функции в какой-нибудь из точек интервала, либо применив метод интервалов, знакомый из школьной программы.

6). Нахождение промежутков монотонности. Для этого находят производную $ f'(x)$ и решают неравенство $ f'(x)>0$. На промежутках, где это неравенство выполнено, функция $ f(x)$ возрастает. Там, где выполнено обратное неравенство $ f'(x)<0$, функция $ f(x)$ убывает. Если два ннтервала возрастания (или убывания) $ (a;b)$ и $ (b;c)$ примыкают друг к другу в точке $ b$ и функция $ f(x)$ непрерывна в этой точке $ b$, то $ f(x)$ возрастает на интервале $ (a;c)$.

Найдя интервалы монотонности, мы можем сразу определить точки локального экстремума (пользуясь теоремой 7.10 и не прибегая к теореме 7.11): там, где возрастание сменяется убыванием20, располагаются локальные максимумы, а там, где убывание сменяется возрастанием -- локальные минимумы.

7). Нахождение интервалов выпуклости и вогнутости ведётся с помощью второй производной. Найдя $ f''(x)$, мы решаем неравенство $ f''(x)>0$. На каждом из интервалов решения функция будет выпуклой вниз. Решая обратное неравенство $ f''(x)<0$, мы находим интервалы, на которых функция выпукла вверх (то есть вогнута).

Заодно определяем точки перегиба как те точки, в которых функция меняет направление выпуклости (и непрерывна).

8). Нахождение точек пересечения графика с асимптотой. Этот пункт не носит столь уж обязательного характера, однако нахождение таких точек придаёт исследованию функции и построенному её графику законченность и полноту.

Заметим, что получающиеся в процессе исследования функции точки на осях координат и на графике полезно сразу же наносить на чертёж. Это помогает по ходу дела уяснять вид графика. При этом дальнейшие исследования функции имеют характер уточнений полученного ранее.

Пошаговое решение индивидуальных заданий

СССР - Сайт самостоятельной студенческой работы