Четыре теоремы о дифференцируемых функциях

В этом разделе мы рассмотрим некоторые утверждения, касающиеся функций, которые во всех точках данного множества имеют производную. Такие функции называются дифференцируемыми на данном множестве.

Первая теорема имеет вспомогательный характер для дальнейшего, хотя важна и сама по себе.

Пусть функция $ f(x)$ определена на некотором множестве $ \mathcal{D}$, и $ E\sbs\mathcal{D}$. Назовём точку $ x_0\in E$ точкой максимума функции $ f$ на множестве $ E$, если при всех $ x\in E$ выполняется неравенство $ f(x)\leqslant f(x_0)$, и точкой минимума, если при всех $ x\in E$ выполняется неравенство $ f(x)\geqslant f(x_0)$.

Точка $ x_0$, являющаяся либо точкой максимума, либо точкой минимума, называется точкой экстремума.

        Теорема 5.1 (Ферма)   Пусть функция $ f(x)$ имеет на множестве $ E$ точку экстремума $ {x_0\in E}$, причём множество $ E$ содержит некоторую $ {\delta}$-окрестность $ {E_{{\delta}}=(x_0-{\delta};x_0+{\delta})}$ точки $ x_0$. Тогда либо $ f(x)$ имеет в точке $ x_0$ производную, равную 0, то есть $ f'(x_0)=0$, либо производная в точке $ x_0$ не существует.

Рис.5.1.Поведение функции в окрестности точки экстремума


        Замечание 5.1   Заметим, что условие $ f'(x_0)=0$ означает, что тангенс угла $ {\alpha}$ наклона касательной к графику $ y=f(x)$, проведённой при $ x=x_0$, равен 0. Отсюда $ {{\alpha}=0}$, то есть теорема Ферма утверждает, что касательная, проведённая в точке экстремума, горизонтальна (если эта касательная существует).     

        Доказательство теоремы Ферма.     Если производная в точке экстремума не существует, то утверждение теоремы верно. Предположим, что производная $ f'(x_0)$ существует. Рассмотрим два случая.

Пусть функция имеет в точке $ x_0$ максимум. Тогда $ {\Delta}f=f(x)-f(x_0)\leqslant 0$ при всех $ x\in E_{{\delta}}$, поскольку $ f(x)\leqslant f(x_0)$. Если взять $ x>x_0, x\in E_{{\delta}}$, то $ {\Delta}x=x-x_0>0$, и поэтому $ \dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}\leqslant 0$. При вычислении производной мы переходим к пределу при $ {\Delta}x\to0$ в этом разностном отношении. При этом знак нестрогого неравенства сохраняется, когда мы берём предел справа:

$\displaystyle f'(x_0)=f'_+(x_0)=\lim_{{\Delta}x\to0+}\dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}\leqslant 0.$

Аналогично, при $ x<x_0, x\in E_{{\delta}}$, $ {\Delta}x=x-x_0<0$, и поэтому $ \dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}\geqslant 0$. Отсюда, вычисляя предел слева, получаем:

$\displaystyle f'(x_0)=f'_-(x_0)=\lim_{{\Delta}x\to0-}\dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}\geqslant 0.$

Итак, выполняются два неравенства: $ f'(x_0)\leqslant 0$ и $ f'(x_0)\geqslant 0$, что возможно лишь при $ f'(x_0)=0$.

Пусть теперь функция $ f(x)$ имеет в точке $ x_0$ минимум. Тогда $ {\Delta}f=f(x)-f(x_0)\geqslant 0$ при всех $ x\in E_{{\delta}}$, поскольку $ f(x)\geqslant f(x_0)$. Если взять $ x>x_0, x\in E_{{\delta}}$, то $ {\Delta}x=x-x_0>0$, и поэтому $ \dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}\geqslant 0$. Переходя к пределу при $ {\Delta}x\to0+$ в разностном отношении, получаем:

$\displaystyle f'(x_0)=f'_+(x_0)=\lim_{{\Delta}x\to0+}\dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}\geqslant 0.$

Аналогично, при $ x<x_0, x\in E_{{\delta}}$, $ {\Delta}x=x-x_0<0$, и поэтому $ \dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}\leqslant 0$. Вычисляя предел слева, получаем:

$\displaystyle f'(x_0)=f'_-(x_0)=\lim_{{\Delta}x\to0-}\dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}\leqslant 0.$

Из неравенств $ f'(x_0)\geqslant 0$ и $ f'(x_0)\leqslant 0$ получаем, что $ f'(x_0)=0$.     

        Пример 5.1   Функция $ f(x)=x^2$ имеет на отрезке $ [-1;1]$ точку минимума $ x_0=0$. Производная функции существует при всех $ x$: $ f'(x)=2x$. В точке минимума производная, действительно, оказывается равной 0: $ f'(x_0)=f'(0)=2\cdot0=0$, так что утверждение теоремы Ферма выполнено.     

Рис.5.2.График $ y=x^2$


        Пример 5.2   Функция $ f(x)=\vert x\vert$ имеет на отрезке $ [-1;1]$ точку минимума $ x_0=0$. Производная функции при $ x=0$ не существует. (Производная существует при всех $ x\ne0$, она равна 1 при $ x>0$ и $ -1$ при $ x<0$.) Итак, в точке минимума этой функции производная не существует, и утверждение теоремы Ферма снова выполнено.     

Рис.5.3.График $ y=\vert x\vert$


Далее мы будем предполагать, что функция $ f(x)$, заданная на отрезке $ [a;b]$, удовлетворяет следующим условиям: она непрерывна на отрезке $ [a;b]$ и дифференцируема на интервале $ (a;b)$; существование односторонних производных в точках $ a$ и $ b$, вообще говоря, не предполагается. Непрерывность во всех внутренних точках отрезка, конечно, следует из предположенной дифференцируемости, а вот непрерывность в точках $ a$ (непрерывность справа) и $ b$ (непрерывность слева) из дифференцируемости в точках интервала не следует.

        Теорема 5.2 (Ролля)   Пусть функция $ f(x)$ дифференцируема на интервале $ (a;b)$, непрерывна в точках $ a$ и $ b$ и принимает в этих точках значение 0: $ f(a)=f(b)=0$. Тогда найдётся хотя бы одна точка $ x_0\in(a;b)$, в которой $ f'(x_0)=0$.

        Замечание 5.2   Это утверждение можно переформулировать так: между двумя корнями $ a$ и $ b$ дифференцируемой функции $ f(x)$ обязательно найдётся корень её производной $ f'(x)$ (то есть точка $ x_0\in(a;b)$, такая что $ f'(x_0)=0$). Условие $ f'(x_0)=0$ означает, что касательная, проведённая к графику $ y=f(x)$ при $ x=x_0$, расположена горизонтально.

Заметим также, что теорема Ролля не утверждает, что корень $ x_0$ -- единственный корень производной на интервале $ (a;b)$; на этом интервале может находиться несколько корней производной.     


Рис.5.4.Между двумя корнями дифференцируемой функции лежит хотя бы один корень её производной


        Доказательство теоремы Ролля.     Так как при наших предположениях функция $ f(x)$ непрерывна на отрезке $ [a;b]$, то она принимает своё максимальное значение $ M$ и минимальное значение $ m$ в некоторых точках $ x_M$ и $ x_m$ этого отрезка.

Рассмотрим два случая. Если $ M=m$, то наибольшее и наименьшее значения функции совпадают, и, следовательно, функция постоянна на отрезке $ [a;b]$: $ f(x)=\mathrm{const}$. Значит, $ f'(x)=0$ при всех $ x\in(a;b)$, и в качестве $ x_0$ в этом случае можно взять любую точку $ x$ интервала $ (a;b)$.

Если же $ M>m$, то либо $ M$, либо $ m$ отлично от 0 и, следовательно, либо точка $ x_M$, либо точка $ x_m$ не совпадает с концами отрезка $ a$ и $ b$, то есть лежит внутри интервала $ (a;b)$. Пусть, для определённости, $ x_m$ -- внутренняя точка интервала. Тогда, по теореме Ферма, $ f'(x_m)=0$, поскольку по предположению доказываемой теоремы, $ f(x)$ имеет производную во всех точках интервала $ (a;b)$ и, следовательно, в точке $ x_m$. Итак, в этом случае точку $ x_m$ можно взять в качестве искомой точки $ x_0$: тогда $ f'(x_0)=0$.     

        Теорема 5.3 (Лагранжа)   Пусть функция $ f(x)$ дифференцируема на интервале $ (a;b)$ и непрерывна в точках $ a$ и $ b$. Тогда найдётся такая точка $ x_0\in(a;b)$, что

$\displaystyle f'(x_0)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}.$ (5.1)

        Замечание 5.3   Формулу (5.1) можно записать в виде

$\displaystyle f(b)-f(a)=f'(x_0)(b-a).$ (5.2)

Если считать, что аргументу $ a$ придано приращение $ {\Delta}x=b-a$, то функция получает приращение $ {\Delta}f=f(b)-f(a)$. (При этом мы не считаем, что $ {\Delta}x$ и $ {\Delta}f$ стремятся к 0, то есть это конечные, а не бесконечно малые, приращения.) При этих обозначениях формулу (5.2) мы можем записать в виде

$\displaystyle {\Delta}f=f'(x_0){\Delta}x,$

в котором участвуют конечные приращения аргумента и функции. Поэтому формулу (5.2) называют формулой конечных приращений.     

        Доказательство теоремы Лагранжа.     Дадим сначала геометрическую иллюстрацию теоремы. Соединим конечные точки графика $ y=f(x)$ на отрезке $ [a;b]$ хордой. Конечные приращения $ {\Delta}x=b-a$ и $ {\Delta}f=f(b)-f(a)$ -- это величины катетов треугольника, гипотенузой которого служит проведённая хорда.

Рис.5.5.Касательная в некоторой точке параллельна хорде


Отношение конечных приращений $ {\Delta}f$ и $ {\Delta}x$ -- это тангенс угла наклона хорды. Теорема утверждает, что к графику дифференцируемой функции можно провести в некоторой точке $ x_0$ касательную, которая будет параллельна хорде, то есть угол наклона касательной $ {\alpha}$ ( $ \mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}=f'(x_0)$) будет равен углу наклона хорды $ {\beta}$ ( $ \mathop{\rm tg}\nolimits {\beta}=\dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}$). Но наличие такой касательной геометрически очевидно.

Заметим, что проведённая хорда, соединяющая точки $ (a;f(a))$ и $ (b;f(b))$ -- это график линейной функции $ \ell(x)$. Поскольку угловой коэффициент этой линейной функции равен, очевидно, $ \mathop{\rm tg}\nolimits {\beta}=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$, то

$\displaystyle \ell(x)=f(a)+\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$

(мы учли то, что график линейной функции проходит через точку $ (a;f(a))$).

Сведём доказательство к применению теоремы Ролля. Для этого введём вспомогательную функцию $ g(x)=f(x)-\ell(x)$, то есть

$\displaystyle g(x)=f(x)-f(a)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a).$

Заметим, что $ g(a)=f(a)-\ell(a)=0$ и $ g(b)=f(b)-\ell(b)=0$ (по построению функции $ \ell(x)$). Так как линейная функция $ \ell(x)$ дифференцируема при всех $ x\in\mathbb{R}$, то функция $ g(x)=f(x)-\ell(x)$ удовлетворяет, тем самым, всем свойствам, перечисленным в условии теоремы Ролля. Поэтому найдётся такая точка $ x_0\in(a;b)$, что $ g'(x_0)=0$.

Заметим теперь, что

$\displaystyle g'(x)=f'(x)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)'=f'(x)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}.$

Значит, равенство $ g'(x_0)=0$ можно переписать в виде

$\displaystyle f'(x_0)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}.$

Таким образом, мы доказали формулу (5.1).     

Из теоремы Лагранжа вытекает утверждение, обратное к тому, что производная постоянной есть 0, а именно:

        Следствие 5.1   Пусть на интервале $ (a,b)$ функция $ f(x)$ имеет производную $ f'(x)$, тождественно равную 0: $ f'(x)=0\;\forall\;x\in(a;b)$. Тогда $ f(x)=\mathrm{const}$ на интервале $ (a;b)$.

        Доказательство.     Заметим для начала, что непрерывность функции $ f(x)$ в любой точке интервала $ (a;b)$ следует из дифференцируемости в этой точке. Значит, теорему Лагранжа можно применить к функции $ f(x)$ на любом отрезке $ [x_1;x_2]\sbs(a;b)$.

Возьмём любые две точки $ x_1,x_2\in(a;b)$, такие что $ x_1<x_2$, и выпишем для функции $ f(x)$ на отрезке $ [x_1;x_2]$ формулу конечных приращений: $ f(x_2)-f(x_1)=f'(x_0)(x_2-x_1)$, при некотором $ x_0\in(x_1;x_2)$. Но в любой точке производная по предположению равна 0, в том числе $ f'(x_0)=0$. Отсюда $ f(x_2)-f(x_1)=0$, или $ f(x_2)=f(x_1)$. Обозначим это общее значение через $ c$. Выбирая произвольно точку $ x=x_2>x_1$, получим, что $ f(x)=c$ при всех $ x>x_1$; выбирая произвольно точку $ x=x_1<x_2$, -- что $ f(x)=c$ при всех $ x<x_2$. Но это означает, что $ f(x)=c$ при всех $ x\in(a;b)$.     

        Теорема 5.4 (Коши)   Пусть функции $ {\varphi}(t)$ и $ \psi(t)$ дифференцируемы на интервале $ ({\alpha};{\beta})$ и непрерывны при $ t={\alpha}$ и $ t={\beta}$, причём $ {\varphi}'(t)\ne0$ при всех $ t\in({\alpha};{\beta})$. Тогда в интервале $ ({\alpha};{\beta})$ найдётся такая точка $ t_0$, что

$\displaystyle \dfrac{\psi({\beta})-\psi({\alpha})}{{\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})}=\dfrac{\psi'(t_0)}{{\varphi}'(t_0)}.$

        Доказательство.     Докажем сначала, что $ {\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})\ne0$, то есть что дробь в левой части формулы имеет смысл. Действительно, для этой разности можно записать формулу конечных приращений:

$\displaystyle {\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})={\varphi}'({\gamma})({\beta}-{\alpha}),$

при некотором $ {\gamma}\in({\alpha};{\beta})$. Но в правой части этой формулы оба множителя отличны от нуля.

Для доказательства теоремы применим тот же приём, что при доказательстве теоремы Лагранжа: введём вспомогательную функцию

$\displaystyle \eta(t)=\psi(t)-\psi({\alpha})-\dfrac{\psi({\beta})-\psi({\alpha})}{{\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})}
({\varphi}(t)-{\varphi}({\alpha})).$

Функция $ \eta(t)$, очевидно, является дифференцируемой при всех $ t\in({\alpha};{\beta})$ и непрерывной в точках $ {\alpha}$ и $ {\beta}$, поскольку этими свойствами обладают функции $ {\varphi}$ и $ \psi$. Кроме того, очевидно, что при $ t={\alpha}$ получается $ \eta({\alpha})=0$. Покажем, что и $ \eta({\beta})=0$:

$\displaystyle \eta({\beta})=\psi({\beta})-\psi({\alpha})-\dfrac{\psi({\beta})-\...
...hi}({\alpha}))=
\psi({\beta})-\psi({\alpha})-(\psi({\beta})-\psi({\alpha}))=0.$

Значит, функция $ \eta(t)$ удовлетворяет на отрезке $ [{\alpha};{\beta}]$ условиям теоремы Ролля. Поэтому существует такая точка $ t_0\in({\alpha};{\beta})$, что $ \eta'(t_0)=0$.

Вычислим теперь производную функции $ \eta(t)$:

$\displaystyle \eta'(t)=\psi'(t)-\dfrac{\psi({\beta})-\psi({\alpha})}{{\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})}
{\varphi}'(t).$

Получаем, что

$\displaystyle 0=\eta'(t_0)=\psi'(t_0)-\dfrac{\psi({\beta})-\psi({\alpha})}{{\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})}
{\varphi}'(t_0),$

откуда получаем утверждение теоремы:

$\displaystyle \dfrac{\psi({\beta})-\psi({\alpha})}{{\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})}=\dfrac{\psi'(t_0)}{{\varphi}'(t_0)}.$

    

        Замечание 5.4   Можно считать функции $ x={\varphi}(t)$ и $ y=\psi(t)$ координатами движущейся на плоскости $ xOy$ точки, которая описывает линию $ L$, соединяющую начальную точку $ ({\varphi}({\alpha});\psi({\alpha}))$ с конечной точкой $ ({\varphi}({\beta});\psi({\beta}))$. (Тогда уравнения $ x={\varphi}(t)$ и $ y=\psi(t)$ параметрически задают некоторую зависимость $ y(x)$, графиком которой служит линия $ L$.)

Рис.5.6.Хорда параллельна некоторой касательной к кривой


Отношение $ \dfrac{\psi({\beta})-\psi({\alpha})}{{\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})}$, как нетрудно видеть из чертежа, задаёт тогда угловой коэффициент хорды, соединяющей точки $ ({\varphi}({\alpha});\psi({\alpha}))$ и $ ({\varphi}({\beta});\psi({\beta}))$. В то же время, по формуле производной функции, заданной параметрически, имеем: $ y'_x=\dfrac{y'_t}{x'_t}=\dfrac{\psi'(t)}{{\varphi}'(t)}$. Значит, дробь $ \dfrac{\psi'(t_0)}{{\varphi}(t_0)}$ -- это угловой коэффициент касательной к линии $ L$ в некоторой точке $ ({\varphi}(t_0);\psi(t_0))\in L$. Тем самым утверждение теоремы означает, с геометрической точки зрения, что на линии $ L$ найдётся точка, такая что проведённая в этой точке касательная параллельна хорде, соединяющей крайние точки линии. Но это -- то же самое утверждение, которое составляло геометрический смысл теоремы Лагранжа. Только в теореме Лагранжа линия $ L$ была задана явной зависимостью $ y=f(x)$, а в теореме Коши -- зависимостью, заданной в параметрической форме.     

Пошаговое решение индивидуальных заданий

СССР - Сайт самостоятельной студенческой работы