Сравнение бесконечно малых

        Определение 2.16   Пусть фиксирована некоторая база $ \mathcal{B}$ и на некотором её окончании $ E$ заданы две функции $ {\varphi}(x)$ и $ \psi(x)$, бесконечно малые при базе $ \mathcal{B}$. Предположим также, что $ \psi(x)\ne0$ при всех $ x\in E$. Пусть существует

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{\psi(x)}=L.$

Если $ L\ne0$, то бесконечно малая $ {\varphi}(x)$ имеет тот же порядок малости, что и $ \psi(x)$. Этот факт обозначается так:

$\displaystyle {\varphi}(x)\mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{\mathcal{B}}}\psi(x).$

Если же $ L=0$, то $ {\varphi}(x)$ имеет больший порядок малости, чем $ \psi(x)$. Это обозначается так:

$\displaystyle {\varphi}(x)\mathrel{\mathop{\prec}\limits_{\mathcal{B}}}\psi(x).$

    

Заметим, что если $ {\varphi}(x)\mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{\mathcal{B}}}\psi(x)$, то для всех $ x$ из некоторого окончания $ E'$ базы $ \mathcal{B}$ будет выполнено неравенство $ {\varphi}(x)\ne0$. Это сразу следует из того, что $ \lim\limits_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{\psi(x)}=L\ne0.$

        Предложение 2.2   Если при базе $ \mathcal{B}$ бесконечно малая $ {\varphi}(x)$ имеет тот же порядок малости, что $ \psi(x)$, то и $ \psi(x)$ имеет тот же порядок малости, что $ {\varphi}(x)$, то есть

$\displaystyle {\varphi}(x)\mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{\mathcal{B}}}\psi(x)...
...htarrow \quad\psi(x)\mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{\mathcal{B}}}{\varphi}(x).$ (S)

Если две бесконечно малых $ {\varphi}(x)$ и $ \psi(x)$ одного порядка малости, и две бесконечно малых $ \psi(x)$ и $ \chi(x)$ тоже одного порядка малости при базе $ \mathcal{B}$, то две величины $ {\varphi}(x)$ и $ \chi(x)$ также имеют один и тот же порядок малости при базе $ \mathcal{B}$, то есть

$\displaystyle {\varphi}(x)\mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{\mathcal{B}}}\psi(x)...
...htarrow \quad{\varphi}(x)\mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{\mathcal{B}}}\chi(x).$ (T)

Кроме того, бесконечно малая величина $ {\varphi}(x)\ne0$ имеет тот же порядок малости, что она же сама:

$\displaystyle {\varphi}(x)\mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{\mathcal{B}}}{\varphi}(x).$ (R)

        Доказательство.     Поскольку $ \lim\limits_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{\psi(x)}=
\lim\limits_{\mathcal{B}}\dfrac
{1}
{\dfrac{\psi(x)}{{\varphi}(x)}}
=L\ne0,$ то $ \lim\limits_{\mathcal{B}}\dfrac{\psi(x)}{{\varphi}(x)}=\dfrac{1}{L}\ne0$, откуда следует первое из доказываемых утверждений.

Второе утверждение следует из первого и цепочки равенств

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{\chi(x)}=
\lim_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{\psi(x)}\dfrac{\psi(x)}{\chi(x)}=L\cdot M\ne0,$

где

$\displaystyle M=\lim_{\mathcal{B}}\dfrac{\psi(x)}{\chi(x)}\ne0$

по условию предложения.

Наконец, третье утверждение сразу следует из очевидного соотношения $ \lim\limits_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{{\varphi}(x)}=1\ne0.$     

Итак, свойство двух или нескольких бесконечно малых величин иметь один и тот же порядок малости, то есть отношение $ \mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{\mathcal{B}}}$, заданное в множестве бесконечно малых при данной базе $ \mathcal{B}$ величин $ {\varphi}(x),\psi(x),\chi(x),\dots$, является рефлексивным, транзитивным и симметричным.

Рефлексивность какого-либо отношения $ \sim$, заданного в некотором множестве объектов $ {\varphi},\psi,\chi,\dots$, означает, что выполнено свойство
(R): $ {\varphi}\sim{\varphi}$,
транзитивность -- что выполнено свойство
(T): $ {\varphi}\sim\psi,\ \psi\sim\chi\quad\Longrightarrow \quad{\varphi}\sim\chi$,
а симметричность -- что выполнено свойство
(S): $ {\varphi}\sim\psi\quad\Longrightarrow \quad\psi\sim{\varphi}$.

Любое рефлексивное, транзитивное и симметричное отношение $ \sim$ разбивает множество объектов, для которых оно определено, на классы объектов, эквивалентных по данному отношению: в один класс с объектом $ {\varphi}$ попадают все объекты $ \psi$, для которых $ \psi\sim{\varphi}$.

Поэтому все бесконечно малые при данной базе $ \mathcal{B}$ величины разбиваются на классы по отношению $ \mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{\mathcal{B}}}$, в каждый из которых входят все величины, имеющие один и тот же порядок малости.

        Пример 2.31   При базе $ x\to0$ величины $ Cx^t$ и $ Dx^t$, где $ t>0$ и $ C=\mathrm{const}\ne0$, $ D=\mathrm{const}\ne0$, имеют один и тот же порядок малости (так как, очевидно, их отношение постоянно и его предел $ \dfrac{Cx^t}{Dx^t}=\dfrac{C}{D}$ постоянно и его предел равен $ \dfrac{C}{D}\ne0$. Например, при $ x\to0$ величины $ 2x^2$ и $ 5x^2$ имеют один и тот же порядок малости.

При базе $ x\to0+$ величина $ x^t$ имеет больший порядок малости, чем $ x^s$, при $ t>s>0$:

$\displaystyle \lim_{x\to0+}\dfrac{x^t}{x^s}=\lim_{x\to0+}x^{t-s}=0,$

так как $ t-s>0$. Если степени $ x^s$ и $ x^t$ определены и при $ x<0$, то аналогичное утверждение верно и для двусторонней базы $ x\to0$. Например, при $ x\to0+$ величина $ \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$ -- большего порядка малости, чем $ \sqrt[4]{x}=x^{\frac{1}{4}}$. При $ x\to0$ величина $ x^2$ -- большего порядка малости, чем $ x$, а $ x$ -- величина большего порядка малости, чем $ \sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}$.     

        Пример 2.32   Три величины $ {\alpha}(x)=x^2-3x+2$, $ {\beta}(x)=x^2+4x-5$, $ {\gamma}(x)=x^2-2x+1$ являются бесконечно малыми при базе $ x\to1$. Так как нетрудно проверить, что

$\displaystyle \lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2-3x+2}{x^2+4x-5}=-\dfrac{1}{6}\ne0,$

то $ {\alpha}(x)$ и $ {\beta}(x)$ имеют один и тот же порядок малости при $ x\to1$.

Поскольку

$\displaystyle \lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2-2x+1}{x^2+4x-5}=0,$

то величина $ {\gamma}(x)$ имеет больший порядок малости, нежели $ {\beta}(x)$, и не относится к тому классу, к которому принадлежат $ {\alpha}(x)$ и $ {\beta}(x)$.     

        Пример 2.33   Используя первый замечательный предел, легко видеть, что при $ a\ne0$ и $ b\ne0$

$\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{\sin ax}{bx}=
\lim_{x\to0}\dfrac{\sin ax}{ax}...
...}{b}\cdot
\lim_{x\to0}\dfrac{\sin ax}{ax}=\dfrac{a}{b}\cdot1=\dfrac{a}{b}\ne0.$

Это означает, что величины $ {{\alpha}(x)=\sin ax}$ и $ {{\beta}(x)=bx}$ имеют один и тот же порядок малости при $ x\to0$.    

        Предложение 2.3   Если $ {\alpha}(x)$ имеет при базе $ \mathcal{B}$ больший порядок малости, чем $ {\varphi}(x)$, а $ \psi(x)$ -- такой же порядок малости, что и $ {\varphi}(x)$, то $ {\alpha}(x)$ имеет больший порядок малости, чем $ \psi(x)$.

        Доказательство.     Для доказательства напишем такую цепочку равенств:

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\dfrac{{\alpha}(x)}{\psi(x)}=
\lim_{\mathcal{B...
...(x)}{{\varphi}(x)}
\lim_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{\psi(x)}=0\cdot L=0,$

что и доказывает предложение.     

        Пример 2.34   Поскольку, как мы видели в примерах выше, $ x^2\mathrel{\mathop{\prec}\limits_{x\to0}}x$ и $ x\mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{x\to0}}\sin3x$, то $ x^2$ -- величина большего порядка малости, чем $ \sin3x$.     

        Определение 2.17   Пусть $ {\varphi}(x)$ и $ \psi(x)$ -- бесконечно малые при базе $ \mathcal{B}$ и

$\displaystyle \lim\limits_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{\psi(x)}=1.$

Тогда бесконечно малая $ {\varphi}(x)$ называется эквивалентной бесконечно малой $ \psi(x)$ при базе $ \mathcal{B}$. Это обозначается следующим образом:

$\displaystyle {\varphi}(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{\mathcal{B}}}\psi(x).$

    

Очевидно, что если величина $ {\varphi}(x)$ эквивалентна величине $ \psi(x)$, то они имеют один и тот же порядок малости (так как при этом $ L=1\ne0$). Кроме того, свойство двух бесконечно малых величин быть эквивалентными, то есть отношение $ \mathrel{\mathop{\sim}\limits_{\mathcal{B}}}$, (так же, как и отношение $ \mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{\mathcal{B}}}$) рефлексивно, транзитивно и симметрично. А именно, имеет место

        Предложение 2.4   Если при базе $ \mathcal{B}$ бесконечно малая $ {\varphi}(x)$ эквивалентна бесконечно малой $ \psi(x)$, то и $ \psi(x)$ эквивалентна $ {\varphi}(x)$:

$\displaystyle {\varphi}(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{\mathcal{B}}}\psi(x)\q...
...ightarrow \quad\psi(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{\mathcal{B}}}{\varphi}(x).$ (S$ '$)

Если две бесконечно малых $ {\varphi}(x)$ и $ \psi(x)$ эквивалентны, и две бесконечно малых $ \psi(x)$ и $ \chi(x)$ тоже эквивалентны при базе $ \mathcal{B}$, то две величины $ {\varphi}(x)$ и $ \chi(x)$ также эквивалентны при базе $ \mathcal{B}$:

$\displaystyle {\varphi}(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{\mathcal{B}}}\psi(x),\...
...ightarrow \quad{\varphi}(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{\mathcal{B}}}\chi(x).$ (T$ '$)

Кроме того, величина $ {\varphi}(x)$ эквивалентна себе самой:

$\displaystyle {\varphi}(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{\mathcal{B}}}{\varphi}(x).$ (R$ '$)

        Доказательствоповторяет доказательство предложения 2.2.    Нужно только учесть, что $ L=M=1$.     

Итак, отношение эквивалентности $ \mathrel{\mathop{\sim}\limits_{\mathcal{B}}}$ обладает свойствами симметричности (S$ '$), транзитивности (T$ '$) и рефлексивности (R$ '$) и, следовательно, разбивает множество всех бесконечно малых при данной базе $ \mathcal{B}$ величин на классы эквивалентных между собой бесконечно малых. Эти классы более мелкие, чем классы бесконечно малых величин одного порядка малости, на которые то же самое множество бесконечно малых разбивается отношением $ \mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{\mathcal{B}}}$.

        Пример 2.35   Согласно первому замечательному пределу, $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1.$ Это означает, что

$\displaystyle \sin x\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{x\to0}}x.$

Кроме того, в примере 2.20 мы показали, что $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\arcsin x}{x}=1.$ Это означает, что

$\displaystyle \arcsin x\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{x\to0}}x.$

    

Польза для вычисления пределов от использования эквивалентности бесконечно малых, а также от бесконечно малых большего порядка выражается следующими утверждениями.

        Предложение 2.5   Пусть существует предел $ \lim\limits_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{\psi(x)},$ где $ {\varphi}(x)$ и $ \psi(x)$ -- бесконечно малые при базе $ \mathcal{B}$. Пусть также $ {\varphi}_1(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{\mathcal{B}}}{\varphi}(x)$ и $ \psi_1(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{\mathcal{B}}}\psi(x)$. Тогда существует предел

$\displaystyle \lim\limits_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}_1(x)}{\psi_1(x)}=
\lim\limits_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{\psi(x)},$

то есть бесконечно малые как в числителе, так и в знаменателе неопределённости вида $ \left[\frac{0}{0}\right]$ можно заменять на эквивалентные им бесконечно малые: величина предела от этого не изменится.

        Доказательство.     Для доказательства напишем такое равенство:

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}_1(x)}{\psi_1(x)}=
\lim_{\math...
...
\dfrac{{\varphi}(x)}{\psi(x)}
\lim_{\mathcal{B}}
\dfrac{\psi(x)}{\psi_1(x)}$

и заметим, что эквивалентность величин $ {\varphi}(x)$ и $ {\varphi}_1(x)$, $ \psi(x)$ и $ \psi_1(x)$ означает, что первый и последний пределы в правой части этой формулы равны 1.     

Совершенно так же доказывается уточнение доказанного только что предложения. Это уточнение означает, что заменять эквивалентными можно не только числитель или знаменатель целиком, но и любой бесконечно малый множитель в числителе или знаменателе:

        Предложение 2.6   Пусть $ {\varphi}(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{\mathcal{B}}}{\varphi}_1(x)$, $ \psi(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{\mathcal{B}}}\psi_1(x)$ и существует предел

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\dfrac{f(x){\varphi}(x)}{g(x)\psi(x)}=L.$

Тогда $ {\varphi}(x)$ и $ \psi(x)$ можно заменить на эквивалентные, и значение предела не изменится, то есть

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\dfrac{f(x){\varphi}_1(x)}{g(x)\psi_1(x)}=L.$

    

        Предложение 2.7   Пусть $ {\alpha}(x)\mathrel{\mathop{\prec}\limits_{\mathcal{B}}}{\varphi}(x)$, $ {\beta}(x)\mathrel{\mathop{\prec}\limits_{\mathcal{B}}}\psi(x)$ и существует предел $ \lim\limits_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{\psi(x)}$. Тогда существует предел

$\displaystyle \lim\limits_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)+{\alpha}(x)}{\psi(x)+{\beta}(x)}=
\lim\limits_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{\psi(x)},$

то есть бесконечно малые большего порядка можно отбрасывать как в числителе, так и в знаменателе неопределённости вида $ \left[\frac{0}{0}\right]:$ величина предела от этого не изменится.

        Доказательство.     Согласно предложению 2.5, достаточно доказать, что если $ {\alpha}(x)\mathrel{\mathop{\prec}\limits_{\mathcal{B}}}{\varphi}(x)$, то $ {\varphi}(x)+{\alpha}(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{\mathcal{B}}}{\varphi}(x)$. Но это следует из такой цепочки равенств:

$\displaystyle \lim\limits_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)+{\alpha}(x)}{{\varph...
...lim\limits_{\mathcal{B}}\left(1+\dfrac{{\alpha}(x)}{{\varphi}(x)}\right)=1+0=1.$

    

        Пример 2.36   Вычислим предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin3x+x^2}{\sin5x+2x^3}.$

Для этого заметим, что, как мы проверяли выше, $ x^2$ -- величина большего порядка малости, чем $ \sin3x$. Аналогично проверяется, что $ 2x^3$ -- величина большего порядка малости, чем $ \sin5x$. Поскольку слагаемые большего порядка малости можно отбросить, то

$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin3x+x^2}{\sin5x+2x^3}=
\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin3x}{\sin5x}.$

Далее, поскольку $ \sin3x$, очевидно, эквивалентен $ 3x$ (согласно первому замечательному пределу), а $ \sin5x$ эквивалентен $ 5x$, то последний предел можно упростить, заменив бесконечно малые в числителе и знаменателе на эквивалентные им, а затем сократить на $ x$:

$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin3x}{\sin5x}=
\lim\limits_{x\to0}\dfrac{3x}{5x}=
\lim\limits_{x\to0}\dfrac{3}{5}=\dfrac{3}{5}.$

    

При вычислении пределов часто бывают полезны также следующие два утверждения.

        Предложение 2.8   Пусть $ {\varphi}(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{\mathcal{B}}}{\varphi}_1(x)$ и $ \psi(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{\mathcal{B}}}\psi_1(x)$. Тогда:
1) $ {\varphi}(x)\psi(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{\mathcal{B}}}{\varphi}_1(x)\psi_1(x)$
и
2) $ {\varphi}^m(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{\mathcal{B}}}{\varphi}_1^m(x)$ при любом $ m>0$ (в случае, если степень $ z^m$ определена только при $ z\geqslant 0$, нужно потребовать, чтобы выполнялось неравенство $ {\varphi}(x)\geqslant 0$.

(Заметим, что второе утверждение не следует из первого, поскольку $ m$ -- не обязательно целое число.)

        Доказательство.     Первое утверждение означает, согласно определению эквивалентности, что

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)\psi(x)}{{\varphi}_1(x)\psi_1(x)}=1,$

если известно, что

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{{\varphi}_1(x)}=1$

и

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\dfrac{\psi(x)}{\psi_1(x)}=1.$

Но это сразу следует из теоремы о пределе произведения ( теорема 2.9).

Второе утверждение означает, что

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}^m(x)}{{\varphi}_1^m(x)}=
\lim_{\mathcal{B}}\left(\dfrac{{\varphi}(x)}{{\varphi}_1(x)}\right)^m=1,$

если известно, что

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{{\varphi}_1(x)}=1.$

Это следует из того, что степенная функция $ g(z)=z^m$ непрерывна при любом $ z=z_0$, если $ m>0$. Как отмечалось выше, для непрерывной функции можно переставлять местами знак функции и знак предела:

$\displaystyle \lim_{z\to z_0}g(z)=g(\lim_{z\to z_0}z)=g(z_0).$

В случае степенной функции $ g(z)=z^m$, сделав замену переменного $ z=z(x)$ и связанную с ней замену базы, мы получим, что

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}z(x)^m=\left(\lim_{\mathcal{B}}z(x)\right)^m.$

Беря $ z(x)=\dfrac{{\varphi}(x)}{{\varphi}_1(x)}$, получаем, что

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\left(\dfrac{{\varphi}(x)}{{\varphi}_1(x)}\righ...
...=
\left(\lim_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{{\varphi}_1(x)}\right)^m=1^m=1,$

что и требовалось доказать.     
Пошаговое решение индивидуальных заданий

СССР - Сайт самостоятельной студенческой работы