Глава 31. Скалярное произведение векторов

795 Векторы и образуют угол , зная, что =3, =4, вычислить:
795.1 ;
795.2 ;
795.3  ;
795.4 ;
795.5 ;
795.6 ;
795.7 ;
796 Векторы и взаимно перпендикулярны; вектор образует с ними углы, равные ; зная, что =3, =5, =8, вычислить:
796.1 ;
796.2 ;
796.3 .
797 Доказать справедливость тождества и выяснить его геометрический смысл.
798 Доказать, что ; в каких случаях здесь может иметь место знак равенства?
799 Считая, что каждый из векторов , , отличен от нуля, установить, при каком их взаимном расположении справедливо равенство .
800 Даны единичные вектторы , , , удовлетворяющие условию . Вычислить .
801 Даны векторы , , , удовлетворяющие условию . Зная, что =3, =1, =4, вычислить .
802 Векторы , , попарно образуют друг с другом углы, каждый из которых равен 600. Зная, что =2, =2, =6, определить модуль вектора .
803 Дано, что =3, =5. Определить, при каком значении векторы , будут взаимно перпендикулярны.
804 Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы вектор был перпендикулярен к вектору .
805 Доказать, что вектор перпендикулярен к вектору .
806 Доказать, что вектор перпендикулярен к вектору .
807 Даны векторы и , совпадающие со сторонами треугольника АВС. Найти разложение вектора, приложенного к вершине В этого треугольника и совпадающего с его высотой BD по базису , .
808 Векторы и образуют угол ; зная, что , , вычислить угол между векторами и .
809 Вычислить тупой угол, образованный медианами, проведенными из вершин острых углов равноберденного прямоугольного треугольника.
810 Определить геометрическое место концов переменного вектора , если его начало находится в данной точке А и вектор удовлетворяет условию , где - данный вектор и - данное число.
811 Определить геометрическое место концов переменного вектора , если его начало находится в данной точке А и вектор удовлетворяет условиям , , где и - данные неколлинеарные векторы и , - данные числа.
812 Даны векторы ={4; -2; -4}, ={6; -3; 2}. Вычислить:
812.1  ;
812.2 ;
812.3 ;
812.4 ;
812.5 ;
812.6 .
813 Вычислить, какую работу произведет сила f={3; -5; 2}, когда ее точка приложения перемещается из начала в конец вектора ={2; -5; -7}.
814 Даны точки A(-1; 3; -7), B(2; -1; 5), C(0; 1; -5). Вычислить:
814.1 ;
814.2 ;
814.3 ;
814.5 Найти координаты векторов и .
815 Вычислить, какую работу производит сила f={3; -2; -5}, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения A(2; -3; 5} в положение B(3; -2; -1).
816 Даны силы ={3; -4; 2}, ={2; 3; -5}, ={-3; -2; 4}, приложенные к одной точке. Вычислить, какую работу производит равнодействующая этих сил, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения M1(5; 3; -7) в положение M2(4; -1; -4).
817 Даны вершины четырехугольника A(1; -2; 2), B(1; 4; 0), C(-4; 1; 1), D(-5; -5; 3). Доказать, что его диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны.
818 Определить, при каком значении векторы и взаимно перпендикулярны.
819 Вычислить косинус угла, образованного векторами ={2; -4; 4} и ={-3; 2; -6}.
820 Даны вершины треугольника A(-1; -2; 4), B(-4; -2; 0), C(3; -2; 1). Определить его внутренний угол при вершине В.
821 Даны вершины треугольника A(3; 2; -3), B(5; 1; -1), C(1; -2; 1). Определить его внешний угол при вершине А.
822 Вычислив внутренние углы треугольника с вершинами A(1; 2; 1), B(3; -1; 7), C(7; 4; -2), убедиться, что этот треугольник равнобедренный.
823 Вектор , коллинеарный вектору ={6; -8; -7,5}, образует острый угол с осью Oz. Зная, что =50, найти его координаты.
824 Найти вектор , коллинеарный вектору ={2; 1; -1} и удовлетворяющий условию .
825 Вектор , перпендикулярный к векторам и , образует с осью Oy тупой угол. Найти его координаты, зная, что .
826 Найти вектор , зная, что он перпендикулярен к ={2; 3; -1}, ={1; -2; 3} и удовлетворяет условию .
827 Даны векторы ={3; -1; 5}, ={1; 2; -3}. Найти вектор при условии, что он перпендикулярен к оси Oz и удовлетворяет условиям , .
828 Даны векторы , и . Найти вектор , удовлетворяющий условиям , , .
829 Найти проекцию вектора ={4; -3; 2} на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.
830 Найти проекцию вектора ={; -3; -5} на ось, составляющую с координатными осями Ox, Oz углы , , а с осью Oy – острый угол .
831 Даны точки A(3; -4; -2), B(2; 5; -2). Найти проекцию вектора на ось, составляющую с координатными осями Ox, Oy углы , , а с осью Oz – тупой угол .
832 Вычислить проекцию вектора ={5; 2; 5} на ось вектора ={2; -1; 2}.
833 Даны векторы , , . Вычислить .
834 Даны векторы ={1; -3; 4}, ={3; -4; 2} и ={-1; 1; 4}. Вычислить .
835 Даны векторы , , . Вычислить .
836 Сила, определяемая вектором ={1; -8; -7}, разложена по трем направлениям, одно из которых задано вектором . Найти составляющую силы в направлении вектора .
837 Даны точки M(-5; 7; -6), N(7; -9; 9). Вычислить проекцию вектора ={1; -3; 1} на ось вектора .
838 Даны точки A(-2; 3; -4), B(3; 2; 5), C(1; -1; 2), D(3; 2; -4). Вычислить .